《应用数学》教学大纲

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学分数：   3   (理论教学学时：  56   课内实训学时：  0  )

第 一 次修订,制(修)订人：  严锋  ，制(修)订日期： 2007.7

一、课程的性质与任务

本课程的性质：应用数学是计算机系各专业的基础理论课。

本课程的任务是：通过本课程的学习，使学生系统地获得函数、极限与连续、导数、微分、积分、常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法；通过各教学环节，逐渐培养学生具有一定的思维能力和比较熟练的分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程奠定必要的数学基础。

二、课程教学目标

（一）知识目标

高等数学是计算机本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

    通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

（二）能力目标

    通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、自学能力和适应信息化的发展利用计算机进行计算的能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

（三）德育目标

将德育教育寓于数学教育中，教育学生热爱生活，热爱学习，养成严谨的治学作风，培养学生团结协作的精神。

三、课程内容及教学要求

（一）函数、极限、连续

1．教学内容

函数，极限，连续。

2．教学要求

理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像；理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程；掌握基本初等函数的简单性质及其图象；理解初等函数的概念；会建立简单实际问题的函数关系式。

理解极限的概念（对极限定义中“ε- N”、“ε- δ”、“ε- M”的描述不作要求），能根据极限概念分析函数的变化趋势，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限与左右极限的关系；会求函数在一点处的左极限与右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件；了解极限的有关性质，掌握极限的性质及四则运算法则；理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系，理解无穷小与极限的关系；会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）；掌握极限存在的两个准则，熟练掌握用两个重要极限求极限的方法；掌握求极限的常用方法。

理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系；掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理与零点定理推证一些简单命题；理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

（二）一元函数微分学

    1．教学内容

    导数，微分，导数与微分的应用。

    2．教学要求

理解导数的概念及其几何意义，理解可导性与连续性的关系，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，会用定义求函数在一点处的导数；会求曲线上一点处的切线方程与法线方程；熟练掌握基本初等函数的导数基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法；理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，一般函数的一阶、二阶导数；理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分；了解一阶微分的形式不变性，了解微分在近似计算中的应用。

了解罗尔中值定理、理解拉格朗日中值定理及它们的几何意义；了解柯西中值定理，熟练掌握洛必达法则求“0/ 0” 、“∞/ ∞”、“0×∞”、“∞-∞”、“1^∞”、“ 0 ⁰” 和“∞ ⁰ ” 型未定式的极限方法；掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法；理解函数极值的概念，掌握求函数的极值（必要性和两个充分条件）和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题；会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

（三）一元函数积分学

   1．教学内容

    不定积分，定积分，定积分在几何和物理中的应用。

   2．教学要求

理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理；熟练掌握不定积分的基本公式；熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）；掌握不定积分的分部积分法。

理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件；掌握定积分的基本性质；理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法；掌握牛顿—莱布尼茨公式；理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法，了解广义积分的概念。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力等），掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

（四）常微分方程

       1．教学内容

       常微分方程的概念，一阶微分方程的计算。

       2．教学要求

理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念；掌握可分离变量方程的解法；掌握一阶线性方程的解法，理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法；会用微分方程（或方程组）解决一些简单的应用问题。

四、课时分配

五、教材与教学参考书

《高等数学》侯凤波主编，高等教育出版社。

《高等数学》同济大学高等数学教研室主编，高等教育出版社。